三层空心方阵(晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵)

方阵问题

【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)。

根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

(1)方阵每边人数与四周人数的关系:

四周人数 =(每边人数-1)×4

每边人数 =四周人数÷4+1

(2)方阵总人数的求法:

实心方阵:总人数=每边人数×每边人数

空心方阵:总人数=外每边的人数平方-内每边的人

数平方内每边人数=外每边人数-层数×2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

总人数=(每边人数-层数)×层数×4

解题思路和方法

方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。

例1:

佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列,则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有 多少人?

解:

1、要知道参加表演的运动员共有多少人,只需要找到最外层每边有多少人即可。

2、一个正方形队列,减去一行和一列,就是去掉了两条边上的人数,其中顶点上的人数计算了两次,

所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有(23 1)÷2=12(人),参加表演的有12×12=144(人)。

例2:

欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子16枚,欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子?

解法1:

1、本题考查的空心方阵,根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系,算出每一层的棋子数。

2、方阵每向里一层,每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚,就可求出第二层及第三层每边枚数,知道各层每边的枚数,就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数:(16-1)×4=60(枚),

第二层棋子的枚数:(16-2-1)×4=52(枚),

第三层棋子的枚数:(16-2-2-1×4=11×4=44(枚),

摆这个方阵共用了60 52 44=156(枚)棋子。

解法2:

若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

总人数=(每边人数-层数)×层数×4。则:

(16-3)×3×4=156(枚)

三层空心方阵(晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵)

例3:

一个实心方阵由81人组成,这个方阵的最外层有 多少人?

解:

方阵的行数和列数相同,9×9=81,

所以这是一个9行9列的方阵。

最外层人数与一边人数的关系:一边人数×4-4=一层人数。

所以最外层的人数是9×4-4=32(人)。

例4:

明明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子,一共用了23个棋子,这样排成了一个新方阵,他又把这个新方阵改排成一个4层的空心阵,

这个方阵最外层每边有 多少个棋子?

解:

1、根据题意,排成的这个新方阵的每边棋子数是(23 1)÷2=12(个),

那么这个实心方阵的棋子总数是12×12=144(个)。

2、根据空心方阵中,每相邻的两层的棋子数相差8的关系,我们可以找出等量关系,列方程解决。

设最外层有x个棋子,

则从外到内每层的棋子数分别是(x-8)个、(x-16)个、(x-24)个。

则:x x-8 x-16 x-24=144,x=48

所以这个方阵最外层每边有48÷4 1=13(个)棋子。

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